입실론 델타 논법: 함수 극한의 엄밀한 정의

함수 극한의 직관적 정의의 한계

고등학교 수학에서 배웠던 함수 극한의 정의는 대략 이렇습니다. "함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다."
이 정의는 이해하기 쉽고 직관적이지만, 수학적으로 엄밀하지는 않습니다. "한없이 가까워진다"는 표현이 모호하기 때문이죠. 어느 정도로 가까워지면 충분한 것일까요? 이를 더 엄밀하게 정의할 필요가 있습니다.

입실론 델타 논법의 정의

이를 위해 1789년에 태어난 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시가 제안한 것이 바로 입실론 델타 논법입니다. 이 논법은 다음과 같이 정의됩니다. 임의의 양수 ε(엡실론)에 대하여, 0보다 큰 어떤 δ(델타)가 존재하여, 0 < |x-a| < δ일 때 |f(x)-L| < ε이 성립한다면, 함수 f(x)의 극한값은 L이다. 즉, x가 a에 얼마나 가까워지든 상관없이, f(x)의 값이 L에 얼마나 가까워질 수 있는지를 보여주는 것이죠. 이때 ε은 f(x)와 L의 차이에 대한 오차 범위를, δ는 x와 a의 거리를 나타냅니다.

입실론 델타 논법의 이해

이를 좀 더 쉽게 설명해 보면 이렇습니다.
함수 f(x)의 값이 정확히 x=a에서 L이 될 것이라고 예상합니다. 그런데 실제로 x=a에서 f(x)의 값이 L이 되지 않을 수도 있죠. 이 경우 우리는 x를 a에 얼마나 가깝게 만들어야 f(x)가 L에 얼마나 가깝게 되는지 알고 싶습니다. 이때 ε은 우리가 허용할 수 있는 f(x)와 L의 최대 차이를 나타냅니다. 예를 들어 ε=0.01이면 f(x)가 L에서 0.01 이내에 있어야 한다는 뜻이죠. 그리고 δ는 x를 a에 얼마나 가깝게 만들어야 f(x)가 L에 ε 이내로 접근할 수 있는지를 나타냅니다. 즉, 임의의 작은 ε에 대해서도 그에 맞는 δ를 찾을 수 있다면, 함수 f(x)는 x→a일 때 L로 수렴한다고 할 수 있습니다.

입실론 델타 논법의 활용

이렇게 입실론 델타 논법을 통해 함수 극한을 엄밀하게 정의할 수 있습니다. 예를 들어 f(x)=2x일 때, x=1에서의 극한값이 2인지 확인해 볼 수 있죠. 임의의 ε>0에 대해, |2x-2|<ε를 만족시키는 δ>0을 찾아보면 δ=ε/2가 됩니다. 이때 0<|x-1|<δ이면 |2x-2|<ε가 성립하므로, f(x)=2x의 x=1에서의 극한값은 2라는 것을 엄밀하게 증명할 수 있습니다. 이처럼 입실론 델타 논법은 함수 극한의 존재와 그 값을 수학적으로 엄밀하게 증명할 수 있게 해줍니다. 비록 처음에는 복잡해 보이지만, 꾸준히 연습하다 보면 함수 극한을 이해하는 데 큰 도움이 될 것입니다.